УДК 69.033.8

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВИСЯЧЕЙ МЕМБРАНЫ ПОКРЫТИЯ СООРУЖЕНИЯ С УЧЕТОМ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЛИНЕЙНЫХ СПЛАЙНОВ

Доль Дмитрий Викторович1, Ким Юрий Валентинович2, Шумейко Галина Семеновна3
1Поволжский филиал Московского государственного университета путей сообщения, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры "Теоретическая и прикладная механика"
2Поволжский филиал Московского государственного университета путей сообщения, доктор технических наук, профессор
3Российская открытая академия транспорта Московского государственного университета путей сообщения, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры "Теоретическая и прикладная механика"

Аннотация
Данная статья посвящена изложению методики расчета тонких висячих мембран однопролётного покрытия сооружения на статическое действие силовых, температурных и других нагрузок с учётом геометрической нелинейности системы и физической нелинейности работы материала мембран.

Ключевые слова: геометрическая нелинейность, метод последовательных приращений параметров, покрытие сооружения, расчет висячей мембраны, расчет мембраны, физическая нелинейность


METHODS OF CALCULATING THE HANGING MEMBRANE OF COATING FACILITIES, TAKING INTO ACCOUNT ELASTIC-PLASTIC DEFORMATIONS USING LINEAR SPLINES

Dol Dmitry Viktorovich1, Kim Yuri Valentinovich2, Shumeyko Galina Semenoovna3
1Volga branch of Moscow State University of Railway Transport, Ph.D., assistant professor of "Theoretical and Applied Mechanics" department
2Volga branch of Moscow State University of Railway Transport, Doctor of science, Full Professor
3Russian open Transport Academy of Moscow State University of Railway Transport, Ph.D., assistant professor of "Theoretical and Applied Mechanics" department

Abstract
This article is devoted to a calculation method of hanging thin membrane covering single-span facilities on static action force, temperature and other stresses, taking into account the geometric nonlinearity of the system and the physical nonlinearity of the material of membranes.

Keywords: calculation of a hanging membrane, geometric nonlinearity, membrane calculation, method of serial increments of parameters, physical nonlinearity and coating facilities


Рубрика: 05.00.00 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Доль Д.В., Ким Ю.В., Шумейко Г.С. Методика расчета висячей мембраны покрытия сооружения с учетом упруго-пластических деформаций с применением линейных сплайнов // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 2 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/02/31749 (дата обращения: 03.06.2017).

Расчетная схема линейно-протяжённой однопролетной системы покрытия показана на рис. 1.


Рис.1.

Исследуемое сооружение многоцелевого назначения может представлять собой сооружение, висячая мембранная оболочка которого закреплена в опорном контуре прямоугольного очертания в плане (рис.1). Покрытие может быть сборным и состоять из множества ортогонально-перекрёстных мембранных поясов.
В модифицированном виде предлагаемая методика позволяет рассчитать однопролетное мембранно-пневматическое сооружение [1], гибкая оболочка покрытия которого в нагруженном состоянии опирается на арки.
Цель работы - расчет тонких висячих мембран однопролётного покрытия сооружения на статическое действие силовых, температурных и других нагрузок с учётом геометрической нелинейности системы и физической нелинейности работы материала поясов мембран [1, 2, 3, 4]. Усилия, возникающие в мембранах, передаются на стержневой каркас, расчет которого производится во вторую очередь с учетом сил, вычисленных на первом этапе расчёта.

Принятые обозначения:

L – пролет мембраны;
f- стрела прогиба мембранного пояса e ;
Y- ордината мембранного пояса e ;
L- приведенная длина мембранного пояса e между его крайними опорами;
Lte - температурная приведенная длина мембранного пояса е ;
E- модуль упругости мембранного пояса e ;
- нормальное напряжение в мембранном поясе e внутри пролета;
е - относительная деформация мембранного пояса е ;
F- площадь поперечного сечения мембранного пояса e в пределах пролета;
H- распор в мембранном поясе e ;
h- приращение распора в мембранном поясе e ;
- вертикальный прогиб мембранного пояса e ;
Pej - j-тая сосредоточенная нагрузка, вертикально действующая на пояс e ;
qe(x) – произвольно распределенная поперечная нагрузка, статически действующая на пояс e ;
qej - интенсивность j-той равномерно распределенной нагрузки;
pе - равномерно распределенная поперечная нагрузка на мембранный пояс е от давления воздуха, заключенного во внутреннем помещении;
T- температурное воздействие на мембранный пояс е ;
te - коэффициент температурного расширения материала мембранного пояса e ;
d – задаваемое число итераций на шаге n ;
n – номер текущего шага нагружения системы;
Ten - приращение температуры Tмембранного пояса e на шаге n .
Введем прямоугольную систему декартовых координат xOy, совмещая начало координат O с левой опорой мембраны и направляя ось Ox вправо, а ось Оy – вниз.
Выделим на расстоянии x от начала координат двумя вертикальными плоскостями элемент мембранного пояса, имеющий длину dx .
Рассматривая равновесие элемента системы в недеформированном состоянии, получаем выражение для распора в мембране на конечной стадии монтажа системы

 (1)

Рассматривая равновесие элемента системы в деформированном состоянии, с учетом равенства (1) записываем уравнение статического равновесия пояса e по оси Oy:

 (2)

Здесь H- распор в мембранном поясе e на конечной стадии монтажа системы, определяется формулой (1).
Учитывая удлинение элемента мембранного пояса e, вызванное действием температуры te , получаем

, (3)

где ds – удлинение элемента мембранного пояса, вызываемое действием продольного усилия в элементе;
te - коэффициент линейного расширения материала пояса e;
t- равномерная температура мембранного пояса e.
Для выполнения условия неразрывности деформаций мембранного пояса e между неподвижными анкерными закреплениями возьмем следующий интеграл от левой и правой частей уравнения (3):

Полагая, что вертикальные смещения на опорах в начале и в конце пролета отсутствуют, условие неразрывности деформации мембранного пояса между неподвижными анкерными закреплениями получаем в следующем виде:

 (4)

или окончательно:

 (5)

где e - относительная деформация мембранного пояса e.
При параболическом очертании пояса e длина Lte определяется следующим выражением:

, (6)

где fe - стрела прогиба мембранного пояса e.
Объединяя уравнения статического равновесия мембранного пояса e (2) и уравнение его неразрывности деформаций (5) с учетом зависимости получим исходную систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений:

;
 (7)

Граничные условия:   . (8)
Закон физической нелинейности работы мембранного пояса определяется его действительной диаграммой напряжений-деформаций (). В работе [3] приведены диаграммы напряжений-деформаций некоторых сталей, применяемых для мембранных висячих систем, полученные при стандартных испытаниях на растяжение до разрыва.


Рис. 2

При учете упруго-пластических деформаций элементов системы модуль упругости Eеn принимаем в соответствии с действительной диаграммой – пояса е в зависимости от напряжения и относительного удлинения пояса , характеризующих напряженно-деформированное состояние элемента на шаге n. Будем считать, что материал мембраны работает в упруго-пластической зоне.
Аппроксимируя действительную диаграмму – элемента [3] линейными сплайнами (рис. 2), закон физической нелинейности работы элемента принимаем в следующей форме:
1) нагружение элемента (е е)

 (9)

при s,L-1 е sL ;
2) разгрузка и повторное догружение ( е е ) элемента

, (10)

где

 (11)

при s,L-1 е sL.
Здесь е - нормальное напряжение в элементе аb; е- относительная деформация элемента аb; е - нормальное напряжение в элементе аb, при котором началась очередная разгрузка элемента; е - относительная деформация элемента аb , при которой началась разгрузка элемента;
вычислим приращение относительной деформации элемента аb на шаге n

 (12)

тогда относительная деформация элемента аb в конце шага n будет

 (13)

Поэтапную линеаризацию исходной системы уравнений (17), будем производить методом последовательных приращений параметров. Численный метод приращений параметров, применяемый для решения нелинейных уравнений, получил развитие во второй половине двадцатого века [1, 2, 3, 4].
В данной работе метод последовательных приращений параметров применяется для решения нелинейных уравнений равновесия вышеуказанных мембранно-стержневых систем. При этом варьируются такие нагрузочные параметры х , как распределенные и сосредоточенные нагрузки, температурные воздействия и давление на мембраны изнутри помещения сооружения.
В системе нелинейных уравнений поэтапная линеаризация производится по выбираемым параметрам x. При этом варьируемым параметрам последовательно придаются малые приращения x. Исходное напряженно-деформированное состояние системы, соответствующее некоторым значениям xо варьируемых параметров x, считается известным. Все последовательные этапы расчета состоят в определении изменения напряженно-деформированного состояния при заданных изменениях варьируемых параметров. Для того чтобы на каждом этапе можно было в рамках требуемой точности пренебречь нелинейными членами, приращения x параметров назначаются достаточно малыми.

Далее рассмотрим применение на шаге варьирования параметра численной процедуры итерационного метода Эйлера Коши [2].

Совокупность расчетных формул численной процедуры итерационного метода Эйлера Коши третьего порядка точности имеет следующий вид:

 (14)

Расчетные формулы (14) записаны для случая одновременного варьирования M параметров x.

Достаточно точный расчет составной мембранной системы может быть произведен во втором приближении при 10-20 шагах нагружения или при одном шаге нагружения, но в третьем приближении.
Учитывая, что для пояса е в пролете приведенная длина Le вычисляется по формуле, известной в теории висячих систем [1, 3 и др.], и опуская громоздкие преобразования, запишем поэтапно линеаризованного уравнения статического равновесия системы:

 (16)

Поэтапно линеаризованное интегрально-дифференциальное уравнение (16) решаем методом Бубнова-Галеркина [1, 2, 4], полагая:

 (17)

Произведя преобразования, получим систему разрешающих уравнений:

 (18)

,
которую запишем в виде:

 (19)

где

 (20)

при

;

;

Правая часть уравнения (19) Qni(q) определяется видом нагрузки qn(x), прикладываемой к системе на шаге n.
Прогибы и приращения распоров в мембранных поясах e находятся суммированием по шагам:

 

Библиографический список
  1. Доль Д.В. Нелинейный статический расчёт арочных мембранно-каркасных систем. Автореферат дисс. на соискание уч. степени кандидата техн. наук. – М., РГОТУПС, 2000. – 21 с.
  2. Ким А.Ю. Статический расчет линзообразных мембранно-пневматических систем. Саратовский гос. агроинженерный ун-т. – Саратов, 1997. – 13 с. Депонирована в ВИНИТИ РАН 26.05.97, № 1723 – В97.
  3. Попов Н.Н., Расторгуев Б.С. Динамический расчет висячих конструкций. – М.: Изд-во лит. по строительству, 1970. – 78 с.
  4. Шумейко Г.С. Методика расчёта предварительно напряжённых систем двойных контактных подвесок на действие статических и ветровых нагрузок. Автореферат дисс. на соискание уч. степени кандидата техн. наук. – М., РГОТУПС, 2003. – 20 с.


Все статьи автора «Доль Дмитрий Викторович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: