УДК 330.47

ПОДХОД ТЕОРИИ ИГР К ЗАДАЧЕ СОКРАЩЕНИЯ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ПРОЕКТА

Кутателадзе Варлам Гочаевич
Национальный Исследовательский Университет "Высшая Школа Эконоики"

Аннотация
В настоящей работе рассматриваются ситуации, когда определенный проект не реализован в соответствии с планом. При этом проект может быть завершен как ранее, так и позднее установленного срока. В первом случае имеет место некий бонус, во втором – штраф за просрочку. Внимание читателя фокусируется на том, каким образом эффективно распределить возникшие штрафы и бонусы среди работ (образующих проект), сыгравших роль в задержке или раннем выполнении проекта. Использование аппарата кооперативной теории игр в распределение штрафов и бонусов, как выясняется, позволяет оказывать непосредственное влияние на время самого проекта.

Ключевые слова: Кооперативная теория игр, управление проектами


GAME THEORETICAL APPROACH TO SHORTENING PROJECT DURATION

Varlam Kutateladze
National Research University "Higher School of Economics"

Abstract
This paper examines situations when a certain project is not executed according to its plan. The project can be expedited as well as delayed. In the first case a reward arises and a penalty arises in the second. The reader's attention is focused on how to distribute these rewards and penalties amongst the activities that resulted to the expedition or delay. The application of the apparatus of cooperative game theory in distributing the rewards and penalties allows us, as it turns out, to influence the project duration.

Рубрика: 08.00.00 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Кутателадзе В.Г. Подход теории игр к задаче сокращения длительности проекта // Современные научные исследования и инновации. 2013. № 12 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2013/12/28836 (дата обращения: 02.06.2017).

Введение

Многие проекты на сегодняшний день требуют привлечения и координации различных  компаний-подрядчиков, исполняющих те или иные виды работ необходимые для  осуществления проекта. Строительство автомагистрали, к примеру, тоже является  проектом, который может быть представлен в виде взаимосвязанной системы работ. Так, дорожное покрытие не смогут начать делать пока не привезут асфальт, а доставка асфальта может затянуться, и это, возможно, увеличит время всего строительства. Задержка при выполнении подобных проектов приводит к  существенным общественным и экономическим потерям, и нередко государство вправе «наказывать» субподрядчиков. В негосударственных проектах также могут быть оговорены условия штрафа в случае просрочки проекта. С другой стороны возможно преждевременное выполнение проекта, которое положительно отразится на деятельности компании, разрабатывающей, к примеру, высокотехнологичные устройства. Для компаний такого рода быстрая разработка продукта и его выведение на рынок могут дать значительное конкурентное преимущество, и такие компании готовы вознаграждать исполнителей проекта.

В настоящей работе рассматриваются как раз такие ситуации, когда определенный проект не был реализован в соответствии с планом. При этом проект мог быть завершен как ранее, так и позднее установленного срока. В первом случае имеет место некий бонус, во втором – штраф за просрочку. Внимание читателя фокусируется на том, каким образом эффективно распределить возникшие штрафы и бонусы среди работ, сыгравших роль в задержке или раннем выполнении проекта.

Особенность работы заключается в том, что в ней используется аппарат кооперативной теории игр, обеспечивающий наилучшее распределение совокупного бонуса/штрафа.  Проекты рассматриваются как игры, в которых так называемое ядро (или С-ядро) игры как раз и предлагает вектор (или набор векторов) эффективных и устойчивых распределений. При этом в качестве первого шага используется серийный механизм распределения издержек/излишек, разработанный Моулином и Шенкером в 1992 году [5, стр. 1009-1037]. Вместе с этим мы предложим более усовершенствованный подход, основанный на концепции вектора Шепли. Проектные игры, как выясняется, тесно связаны с играми о банкротстве и налогообложении [6, стр. 345-371] и эта зависимость дает основание полагать, что проектные игры не будут иметь пустое ядро, то есть решение для них будет всегда, а, следовательно, всегда найдется хоть один вариант оптимального распределения вознаграждения/штрафа.

В сущности, проблемы просрочки и раннего завершения проекта имеют разную «природу». Для просрочки всего проекта достаточно хоть какого-то запоздания одной из критических работ (или определенной просрочки любой из некритических работ), в то время как для раннего завершения проекта необходима координация работ между собой. В данной работе учтены сходства и различия каждой из проблем, а аппарат кооперативной теории игр (вместе с серийным механизмом распределения) позволяет принимать во внимание проблемы указанного рода.

Основная цель работы – разработать полезный для менеджера проекта механизм распределения бонуса/штрафов. Основная цель механизма – присваивать каждой работе такое значение штрафа/бонуса, которое сделало бы выгодным для исполнителей работ объединение в единую коалицию, а это в свою очередь способствует максимальной координации и взаимопомощи между исполнителями работ, а, следовательно, более вероятно приведет к хорошему для менеджера проекта результату (то есть своевременному или даже преждевременному завершению проекта).

Используемые обозначения

Ν − набор работ в проекте,
Ρᵢ − набор работ, предшествующих i-й работе (необходимые для начала i-й работы),
Fᵢ − набор работ, следующих после i-й работе (могут начаться только после завершения i-й работы),
IΡᵢ − набор работ, прямо предшествующих i-й работе.

Таким образом, проект можно определить как сочетание {N, {PᵢϵN}}  вместе с набором шагов {N1, …, Nm}, удовлетворяющий трем условиям:
(1) IP1=∅ , то есть у первой работы нет прямого предшественника,
(2) іj∈ IPj+1 для каждой j∈{1, …, n-1}, i-я работа принадлежит прямому предшественнику i+1 работы,
(3) Fn=∅, то есть после последней работы n больше работ не следует.

Далее, обозначим длину i-й работы как l(i), длину пути Nα как D(Nα, l)=∑i∈ Nα l(i), а длину всего D(l) = max1≤α≤m {D(Nα,l)}.

a(i) − функция доступности, показывающая за какое количество времени i-я работа может начаться раньше запланированного времени начала.

Вводятся также понятия запланированного и реального времени выполнения работы:
p(i) − запланированное время выполнения работы, а r(i) – реальное;
d(i) = (r(i)-p(i))+ −просрочка i-й работы (только неотрицательные значения);
e(i) = (p(i)-r(i))+ −досрочное завершение (только неотрицательные значения);
ε будет обозначаться набор досрочно завершенных работ, а Ɗ−набор просроченных работ.

Проблемы в управлении проектами

Основная проблема управления проектами, рассматриваемая в данной работе, возникает, когда запланированное время выполнения проекта не соответствует реальной длительности его осуществления, порождая при этом некие издержки или выгоды для руководителя проекта, который, как предполагается, вправе наказывать или поощрять каждого из исполнителей работ. Задача менеджера в таком случае – предложить некую справедливую систему штрафов/бонусов, которая смогла бы стимулировать исполнителей работ завершать проект вовремя. Как уже было сказано, эта задача выполняется с помощью вычисления ядра коалиционной игры.

Для математического выражения “проектной игры” нам не хватает функции вознаграждения R(t), зависящей от разницы между запланированным и реальным временем выполнения проекта и удовлетворяющая условиям R(t) ≥ 0 при t > 0, R(t) = 0 при t = 0 и R(t) ≤ 0 при t > 0. Таким образом, проект может быть представлен в виде кооперативной игры следующим сочетанием – [{N1, …, Nm},p,r,a,R]. Теперь рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Дана проектная проблема [{N1, …, Nm},p,r,R] (для простоты, однако, опустим функцию доступности а, предположив, что работа может начаться тогда когда это необходимо).
Также даны пути N1 = {A}, N2 = {B}, N3 = {C,D}, N4 = {E}.

Запланированные и реальные сроки завершения каждой из работ указаны ниже:
p(A) = 21,   p(B) = 19,   p(C) = 2,   p(D) = 16,   p(E) =17;
r(A) = 14,   r(B) = 15,    r(C) = 7,    r(D) = 6,    r(E) =14;

Помимо этого, существует определенная функция вознаграждения, установленная менеджером проекта заранее и зависящая от разницы t между запланированными и реальными сроками окончания всего проекта:

Рис.1 - Графическая иллюстрация примера 1.

Сразу же вычислим значения опозданий и ранних завершений каждой из работ:

d(A) = 0,   d(B) = 0,   d(C) = 5,   d(D) = 5,   d(E) = 0;
e(A) = 7,   e(B) = 4,   e(C) = 0,   e(D) = 10,   e(E) = 3;

Общая запланированная длина проекта D(p) = 21, в то время как реальная его длина составила D(r) = 15. Очевидно, проект выполнен на 6 единиц времени раньше запланированного срока, вызвав при этом R(6) = 903 единиц вознаграждения.

Теперь попробуем распределить это время, опираясь на здравый смысл. Можно распределить время как (2;2;-2;2;2), то есть элементарно приписывая положительные разницы раннезавершенным работам и отрицательные опоздавшим (в нашем случае это работа C), при этом не привязывая эту разницу с реальной задержкой или ранним завершением, что, конечно, не есть хорошо. Здесь мы сталкиваемся с первой проблемой – не понятно каков денежный эквивалент задержки в 2 ед. для работы C. Выражен ли он штрафной или бонусной частью функции вознаграждения? Тем не менее, мы можем распределить выгоду, например, в пропорции (1;2;0;1;2). И здесь мы сталкиваемся со второй проблемой – потеря связи между структурой проекта и вознаграждением. Дело в том, что во втором случае мы распределяем вознаграждение как (150,5;201;0;150,5;300), в то время как именно работы A и D ответственны (в положительном смысле) за первые две единицы ускорения, который эквивалентен 800, а не 301.

Подход, который предлагается в данной работе, основан на “обратной” логике и состоит из двух шагов. Сначала мы распределяем штраф/вознаграждение, заработанное каждым путем Nα (т.е. совокупный штраф/вознаграждение работ внутри данного пути) между работами этого пути, согласно серийному механизму распределения издержек/излишек. Затем мы будем использовать концепцию ядра для распределения вознаграждения среди всех работ, используя при этом данные, полученные в первом шаге. Так, получается решить и проблему отрицательного вознаграждения в первом случае, и проблему потери связи между структурой проекта и соответствующим вознаграждением во втором.

В последующем, при определении ценности той или иной коалиции, мы допустим определенную пессимистическую предпосылку: вычисляя ценность коалиции, мы будем считать, что все работы завершены с учетом их реального времени, но только досрочно завершенные работы вне коалиции будут рассчитаны как запланированные, то есть p|ε∖s,r|N(ε∖s). Такая предпосылка вводится, чтобы работы внутри коалиции не могли  пользоваться» преимуществами других работ в плане раннего завершения. Таким образом, если коалиция не способна только своими «силами» ускорить завершение всего проекта, то ценность коалиции отрицательна и определяется через механизм дележа издержек. В противном случае, ценность коалиции положительна и регулируется механизмом распределения излишек.

Механизмы распределения издержек/излишек

Механизм распределения издержек (cost sharing mechanism) понадобится чуть позже для присвоения каждой работе штрафа или бонуса в соответствии с ее задержкой или досрочным завершением. Всего в литературе рассматривается три самых популярных вида распределения издержек/излишек: распределение средних издержек (average cost sharing), маржинальное распределение (marginal cost sharing) и серийное (serial cost sharing).  Каждая модель имеет свои плюсы и минусы, однако для целей настоящей работы наиболее подходящим будут являться серийный механизм распределения издержек, разработанный Моулином и Шенкером в 1992 г. [5, стр. 1009].

Изначально, в такого рода модели распределения издержек заложена следующая логика: каждый игрок (из конечного количества игроков) предъявляет какое-то измеримое требование q (например, требует 5 минут разговора по телефону), после которого данный механизм в соответствии с требованиями каждого из игроков распределяет общие издержки на каждого. Примерами механизмов распределения издержек могут быть компьютерные, телефонные сети или сети магазинов: распределительный механизм получает требования и затем распределяет общие затраты. Рыбалка или добыча полезных ископаемых являются типичными примерами механизмов распределения излишек: предлагается некое усилие (например, 1 час ловли рыбы), а распределяется излишком – добытый ресурс.

Пример 2. Рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, что в здании есть 3 человека, пользующихся электричеством. Каждый из них включает свет в момент t0 и выключает его тогда, когда его потребность в электричестве полностью удовлетворена. После этого формируется общий счет для этих пользователей, например, на основании формулы C = 0.5(∑ti)2, где С – функция начисления издержек, а ti – запрошенное благо, произведенные i-тым пользователем электричества (в нашем случае пусть это будут часы). Также предположим, что t1 = 2, t2 = 4, t3 = 6, то есть первый игрок пользовался 2 часа, затем отключил электричество, через два часа отключил второй и еще через два – третий. Общий счет для пользователей 0.5(2+4+6)2 = 72 и вопрос состоит в распределении общих издержек индивидуально для каждого игрока.

В механизме серийного распределения издержек/излишек предлагается следующий механизм: сначала все требования сортируются в порядке возрастания – q1q2 ≤ … ≤ qn, при этом q0 = 0. Первый игрок с минимальным требованием платит 1/n от функции затрат c(nq1). Второй игрок со следующим минимальным требованием платит столько же, сколько первый и плюс 1/(n-1) прибавочной стоимости с nq1 по (n-1)q2+q1.

Таким образом:

y1 = c(nq1)/n;     y2 = y1 + [c(q1+(n-1)q2)-c(nq1)]/(n-1);     y3= y2 + [c(q1+ q2 +(n-2)q3)-c(q1+(n-1) q2]/(n-2); и так далее.

Для вышеуказанного примера, затраты для пользователей электроэнергией распределились бы следующим образом:

y1 = c(3*2)/3=6;     y2 = 22;     y3 = 44

По сути, серийный механизм идеально подходит для примера с использованием электроэнергии, который в свою очередь наиболее точно отражает проблемы в проектах, которые будут рассмотрены в настоящей работе.

В нашем случае каждая работа требует запоздание (т.е. например, просрочившая на 2 ед. времени работа требует эти самые 2 ед. времени у менеджера проекта), если просрочила запланированный срок выполнения (используется механизм распределения издержек), или же предлагает ускоренное завершение (используется механизм распределения излишек). Таким образом, проблема распределения интерпретируется сочетанием (N,q,c), где N = {1,2, … , n} набор игроков, qi ∈ RN+ − вектор неотрицательных чисел, представляющих требования i-того игрока, и функция затрат c(t), равная нулю для t 0.

Мы будем использовать серийный механизм в качестве первого шага для распределения бонуса/штрафа в рамках шага Nα между игроками этого шага. Затем полученные значения будут использованы для перерасчета общего бонуса/штрафа по проекту уже с использованием кооперативным игр. О причинах выбора такого двухэтапного распределения будет указано в дальнейшем.

Случай задержки проекта

Исходя из оговоренной выше “пессимистической” предпосылки, задержка проекта будет означать, что данная коалиция не в состоянии завершить проект раньше запланированного срока, то есть D(p|ε∖s, r|N(ε∖s)) D(p). Если работы в некотором пути Nα были просрочены, и это стало причиной задержки всего проекта, то мы можем рассматривать эту ситуацию как проблему распределения издержек, в которой требованиями игроков являются задержки работ, а функцией издержек следует понимать c(t) = −R(−t) при t > 0 и c(t) = 0 в противном случае. В общем случае при задержке проекта ценность коалиции S будет определяться следующей формулой:


где φ(S) − набор путей, в которых участвуют работы коалиции S, то есть φ(S) = {∝∈ (1, …, m) | Nα ∩ S ≠ ∅}.

CY(S) представляет собой максимальное значение штрафа, за которое вся коалиция S может быть ответственна. Это значение представляет собой максимальное из значений штрафов для путей, связанных с этой коалицией (Nα ∩ S ≠ ). С другой стороны, определяя значение штрафа для каждого из таких путей, мы не можем приписать ему ни больше чем ему приписано серийным механизмом распределения издержек yiα, ни больше чем этот путь реально внес задержки в проект
с[D(Nα, (ps, r|Ns))) – D(p)] (с учетом нашей «пессимистической предпосылки»), – именно поэтому и берется минимум.

Объясним сущность каждой из составляющих формулы:

1.   yiα представляет собой издержки i-й работы из Nα пути, следовательно, i∩S yiα –общее количество затрат на работы из коалиции S, присвоенные им механизмом распределения издержек;

2.   с[D(Nα, (ps, r|Ns))) – D(p)]– издержки работ из Nα пути, вычисленные как функция издержек c(t) от разницы времени выполнения проекта данной коалицией  и запланированным временем проекта;

3.   выбирая меньшее из двух значений издержек, мы полагаем, что работы из коалиции S, задействованные в пути Nα, не могут платить ни больше затрат, предписанных им механизмом распределения затрат, ни больше издержек, предписанных им функцией затрат, равной отрицательной функции вознаграждения;

4. в итоге стоимость коалиции определяется как максимальное значение затрат, за которое коалиция S может быть ответственна по отношению ко всем путям, задействованным в коалиции.

Зачем нам CY(S)? Расчет значений CY(S) для каждой возможной коалиции необходим для того, чтобы затем рассчитать ядро кооперативной игры Core(CY).
Зачем нам Core(CY)? Расчет ядра позволит найти сочетания распределения возникшего штрафа (бонуса), против которых ни один из игроков (работ) не будет иметь возражений выйти из большой коалиции N. Нахождение игроков в одной коалиции в свою очередь существенно повышает их возможности кооперации и взаимопомощи.

Пример 3. Рассмотрим проектную проблему [{N1, N2, N3},p,r,R], где N1 = {A,B}, N2 = {A,D}, N3 = {C,D}, N4 = {E};
p(A) = 2,   p(B) = 15,   p(C) = 13,   p(D) = 3;
r(A) = 9,   r(B) = 11,   r(C) = 12,   r(D) = 8;

Рассчитаем d и e:
d(A) = 7,   d(B) = 0,   d(C) = 0,   d(D) = 5;
e(A) = 0,   e(B) = 4,   e(C) = 1,   e(D) = 0;

Рис.2 - Графическая иллюстрация примера 2.

Запланированное время исполнения проекта D(p) = 17, реальное D(r) = 20, а следовательно задержка произошла на 3 единицы с соответствующим штрафом R(−3) = −181. Теперь, необходимо рассчитать CY(S) для каждой из возможных коалиций (всего возможно 15 коалиций – {A},{B},…,{ABCD}). Для каждого из трех путей будет использован механизм распределения издержек с параметрами (Nα, qα, c), где qiα = d(i), и c(t) = t4 + 100 при t > 0.

Тогда,

Теперь, основываясь на данных цифрах, мы будем рассчитывать значения CY(S) для каждой из 15 возможных коалиций. Внизу приводится пример расчета CY(S) для коалиции S={A}, S={A,B,C} и S={A,B,C,D}={N}. Перед вычислением указанных данных отметим некоторые факты: φ(S = A) = {1,2} − то есть коалиция затрагивает два пути AB и AD, аналогично φ(S = A,B,C) = {1,2,3}, φ(S = N) = {1,23}. D(p) = const= 17, ε = {B,C}, а D(Nα, (p|εs, r|N(εs))) означает длину пути Nα, при условии, что для всех работ берется реальное время, за исключение досрочно завершенных работ вне коалиции, для которых берется запланированное время (p|εs) в соответствии с пессимистической предпосылкой.

Таким образом,

Полученное означает, что коалиция А в одиночку (то есть не принимая в учет то, что другие работы были завершены заранее) может быть ответственна за максимум 2501 единицу. Затем это значение будет использоваться для расчета ядра.  Теоретически, если любая другая коалиция обеспечит игрока A таким же или меньшим штрафом, то у А не будет «сепаратистского» настроя, а значит ядро будет устойчивым.
В таблице 1 приведены значения CY(S) для каждой коалиции.

Табл.1. – Значения CY(S) для каждой коалиции.

Таким образом,

Ядро можно найти, решая систему следующую систему неравенств:

Получаем результат в виде нескольких возможных векторов дележей затрат, удовлетворяющих условиям эффективности и устойчивости:

Core (CY) = {(0,0,−175,356), (0,0,0,181), (2320,−2320,0,181), (2501,−2320,0,0), (2145,−2145, −175,356), (181,0,−175,175), (181,0,0,0)}.

Пример: не штрафовать А и В, поощрить С на 175 единицу, и оштрафовать D на 356 единиц. На самом деле, указанные вектора не конечное множество возможных ответов. В действительности, это краевые координаты многогранника, образованного из наших ограничений. Любые точки внутри этого многогранника также не противоречили бы решению. Следует здесь же отметить свойства, которыми будет обладать разнообразие предложенных векторов дележей, вследствие определенных предпосылок. Во-первых, на мой взгляд, условие устойчивости (отсутствия сепаратистских настроений) было довольно слабым. То есть «каждый получает не больше затрат, чем мог бы получить в любой другой коалиции»  следовало бы заменить на «каждый получает меньше, чем мог бы получить в любой другой коалиции». Причина этому определенные возможные издержки, которые будет нести игрок i в реальной жизни, состоя в большой коалиции N. Так, например, при первом векторе дележей (0,0,−175,356), игрок B, вовсе не получает никакого вознаграждения, несмотря на то что эта работа ответственна за самое большое «ускорение» (expedition).

Во-вторых, то, что мы получили в итоге, а именно набор векторов, то есть набор возможных решений, не является окончательным распределением, поскольку менеджеру все еще предстоит сделать выбор,  – какой именно из предложенных вариантов применить, как именно распределить штраф.

Вектор Шепли

Обе указанные проблемы исправляет концепция вектора Шепли (Shapley Value). Как ни странно, в современных научных работах не рассматриваются варианты применение Вектора Шепли в отношений данной проблемы. Тем не менее, вектор Шепли часто встречается не только в кооперативной теории игр, но и задачах оптимизации, экономике и в политике. Сам Шепли в 2012 году получил нобелевскую премию. В отличие от ядра, вектор Шепли всегда существует и всегда один. Более того, вектор Шепли будет всегда лежать в ядре.

Вектор Шепли представляет собой математическое ожидание вклада каждого игрока, если коалиция формируется в случайном порядке. Иначе говоря, это вектор (φ1, φ2, …, φN), где выигрыш i-того игрока φi определяется по принципу φi = E(Add(i)), где Add(i) – вклад i-того игрока в большую коалицию. С помощью вектора Шепли мы можем найти оптимальное распределение штрафа для Примера 2, основываясь при этом на полученных значениях CY(S).

Для нахождения векторы Шепли (φA, φB, φC, φD) необходимо посчитать средние значения вклада каждой из работ к большой коалиции N, при ее формировании случайным образом. Например, каков вклад работы A, если коалиция формируется как ABCD? а если как BACD? Найти все возможные комбинации и вычислить среднее значение A. В таблице 2 показаны все возможные комбинации и вклад каждой из работ.

Табл. 2 - Расчет средних значений вклада работ.

Таким образом, вектор Шепли распределил издержки следующим образом (1229; -1138; -66; 156), что в сумме, естественно, дает 181 – общий возникший штраф. Данный вектор также лежит внутри ядра.

Заключение

В данной работе было рассмотрено одно из решений проблемы, когда запланированный срок проекта не соответствует реальному. Для дележа возникающего штрафа/бонуса мы использовали двухшаговый механизм: на первом этапе каждой из возможных коалиций присваивалось определенное значение, отражающее максимально возможную ответственность коалиции за штраф или бонус. Для этого этапа был использован серийный механизм распределения Моулина и Шенкера, необходимый для присвоения таких значений. На втором этапе мы высчитывали C-ядро, для присвоения значений (или набора возможных значений) штрафа или бонуса каждой из работ, при этом используя полученные данные из первого шага. Мы также показали, что второй этап может быть заменен вектором Шепли, который также не противоречит результатам ядра (если игра супермодулярная). В итоге нам удалось присвоить каждой из работ оптимальное значение штрафа или бонуса. Присвоенные значения отличаются не только справедливостью, но и тем, что стимулируют игроков состоять в единой коалиции, то есть иметь единое желание завершить проект как можно скорее. Также был предложен вариант компьютерного приложения, который бы способствовал лучшему понимаю идеи такого подхода со стороны участников проекта.

Математический подход всегда отличается особой строгостью к вводным данным. Так, например, для полноценного применения кооперативной теории игр к одной из проблем управления проектами, необходимо предоставить модели не только планируемые и реальные длительности работ, но также и функцию вознаграждения. С другой стороны, игровой подход, как и всякий математический, позволяет предсказывать ситуацию с довольно высокой точностью.

Естественно, кооперативная теория игр может быть использована не только в целях оптимального распределения штрафа/вознаграждения. Однако, скорее всего, подход будет аналогичным: игроками останутся работы внутри проекта, поскольку всегда предполагается некое взаимодействие между исполнителями работ, а главная цель игры будет формироваться в соответствии с условиями менеджера проекта.


Библиографический список
  1. Shapley, L.S. Cores of convex games, 1971; International Journal Game Theory 1, 11-26
  2. Estevez-Fernandez A. A game theoretical approach to sharing penalties and rewards in projects, 2011; European Jounal of Operational Research. FEB 1, 2012, 216 3, pp.647-657.
  3. Gillies D. Some theorems on n-person games,1953; Ph.D. Thesis, Princeton, University press Princeton, New Jearsey.
  4. Shapley L.S. Value for n-person games, 1953.
  5. Moulin H., Shenker S. Serial Cost Sharing, 1992. Econometrica, Vol. 60, No. 5 (Sep., 1992), pp.1009-1037.
  6. O’Neill. B. A Problem of rights arbitration from the talmud, 1982; Mathematical Social Sciences 2, pp. 345-371.
  7. Osborne M. An Introduction to game theory, 2003.
  8. Демешев Б. Кооперативная теория игр. Азбука, 2011.
  9. Руководство к своду знаний по управлению проектами, PMBOK; Четвертое издание, 2008.
  10. A. Rubinstein M. Osborne. A course in game theory; The MIT Press, 1994.
  11. Lemaire J. Cooperative Game Theory and Its Insurance Application, 1991; ASTIN, 21, 17-40.
  12. Branzei, R., Ferrari, G., Fragnelli, V., Tijs, S. Two approaches to the problem of sharing delay costs in joint projects, 2002; Annals of Operations Research 109, 359-374
  13. Estevez-Fernandez A.,Borm P., Harmers H. Project games, 2007; International Journal of Game Theory 36, pp.149-176.
  14. Pinto, J. and Slevin, D. ‘Project success: Definitions and measurements techniques’, 1988; Project Management Journal 19, 67–72.


Все статьи автора «Varlam K.»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: