Помещение всех корней (полюсов) замкнутой системы в любые заранее выбранные положения составляет предмет интенсивно разрабатываемой в настоящее время теории, которая называется теорией модального управления. Происхождение термина «модальное управление» можно объяснить тем, что корням соответствуют составляющие свободного движения системы, часто называемые модами. Мода – это часть свободной составляющей решения дифференциального уравнения, выражающаяся через экспоненту, корень характеристического полинома и время [1].

Суть модального управления состоит в нахождении численных значений коэффициентов передачи безынерционных обратных связей (ОС) по всем переменным состояния объекта для того, чтобы обеспечить заданное распределение корней характеристического уравнения замкнутой САУ.

Корни характеристического уравнения САУ полностью определяют ее свободное движение.

Каждая составляющая такого движения, соответствующая отдельному корню p_i (или паре комплексно сопряженных корней), за рубежом называется модой – отсюда и понятие «модальное управление». Корни характеристического уравнения однозначно зависят от его коэффициентов, поэтому модальное управление можно понимать как целенаправленное изменение коэффициентов характеристического уравнения объекта с помощью безинерционных ОС.

В технической литературе [2-4] приводятся различные наборы стандартных характеристических полиномов 1-8 порядков и соответствующие им графики переходных процессов с указанными на них показателями качества. В данной статье представлены следующие модели:

- Полином Ньютона;

- Полином Баттерворта;

- Полином, доставляющий минимум интегралу от квадрата ошибки;

- Полином, минимизирующий интеграл I₃;

- Полином с 5%-ным перерегулированием;

- Полином Грехема-Летропа;

- Полином Бесселя;

- Полином, сформированный методом двойных пропорций.

Ниже приведена таблица, показывающая, как выглядит левая часть характеристического уравнения на примере полинома Баттерворта:

Таблица 1 – Стандартные формы Баттерворта

Порядок системы n	Стандартный полином Баттерворта
1	λ +ω0
2	λ 2 +1,4ω0 λ+ ω02
3	λ 3 +2ω0 λ2+ 2ω02 λ+ ω03
4	λ 4 + 2,6ω0 λ3+ 3,4ω02 λ2+ 2,6ω03 λ+ ω04
5	λ 5+3,24ω0 λ4+ 5,24ω02 λ3+ 5,24ω03 λ2+ 3,24ω04 λ+ ω05

Для получения графиков характеристик рассматриваемых эталонных моделей использовался программный комплекс Matlab Simulink. Ниже для примера представлен график стандартных форм Баттерворта:

Рисунок 1 – Стандартные формы Баттерворта

Далее, для удобства сравнения рассматриваемых полиномов, выбран порядок, являющийся наиболее информативным. Для этого для всех исследуемых эталонных систем были построены графики полиномов первого, второго, третьего, четвёртого и пятого порядков. Самым информативным оказался график полиномов пятого порядка, на котором:

1 – Полином Ньютона пятого порядка;

2 – Полином Баттерворта пятого порядка;

3 – Полином, доставляющий минимум интегралу от квадрата ошибки пятого порядка;

4 – Полином, минимизирующий интеграл I₃ пятого порядка;

5 – Полином с 5%-ным перерегулированием пятого порядка;

6 – Полином Грехема-Летропа пятого порядка;

7 – Полином Бесселя пятого порядка;

8 – Полином, сформированный методом двойных пропорций пятого порядка.

Рисунок 2 – Графики полиномов пятого порядка

В результате исследований проведён анализ показателей рассматриваемых эталонных моделей [5, 6]. Для сравнения были найдены следующие характеристики:

- время первого достижения установившегося значения t_п, с;

- время переходного процесса t_уст, с;

- перерегулирование σ, %.

Эти три характеристики получены с помощью модели, сделанной в программном комплексе Matlab Simulink:

Рисунок 3 – Модель для нахождения характеристик

- число колебаний n, посчитано по графику полинома;

- колебательность М, находится по формуле

- эквивалентная постоянная времени T_экв, находится по формуле

- минимум интеграла модуля ошибки J₃, находится по формуле

- минимум интеграла модуля квадрата ошибки J₂, находится по формуле

Полученные данные сведены в таблицу:

 Таблица 2 – Характеристики эталонных моделей

Чтобы выявить модель, обладающую наилучшей совокупностью характеристик, было проведено сравнение по двум показателям, характерным для систем управления электроприводами – σ, % + t_п, с, наилучшие результаты показали:

1. полином Бесселя

2. стандартные формы, минимизирующие интеграл I₃

3. полином Грехема-Летропа

Исходя из приведённых соотношений, а также анализа графиков рисунка 2, можно сделать вывод, что для модального управления электроприводом лучшей совокупностью характеристик обладает эталонная модель № 7, т.е. полином Бесселя.

Выводы:

1. Построены графики эталонных моделей.
2. Проведён анализ рассматриваемых моделей.
3. Выявлена модель, обладающая наилучшей совокупностью характеристик.

Библиографический список

1. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы (Серия: «Учебное пособие»). – СПб.: Питер, 2005. — 336 с.
2. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства – Москва, «Машиностроение», 1976, 184 с.
3. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – Спб.: Изд-во «Профессия», 2003. – 752 с.
4. Методы классической и современной теории автоматического управления. Учебник в 3-х томах / Под ред. Н.Д. Егупова. — М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2000.
5. Кожевников А.В. Применение метода модального управления для повышения стабильности работы электромеханических систем прокатного производства // Производство проката.- №11. – 2013. С. 35-40.
6. Кочнева Т.Н., Кожевников А.В., Кочнев Н.В. Модальное управление электромеханическими системами в металлургии // Вестник Череповецкого государственного университета. Научный журнал. – Череповец: ФБГОУ ВПО ЧГУ. – № 1 (45). Т.1 – 2013. – С. 11-16.

---

Количество просмотров публикации: Please wait

Все статьи автора «Michael»