УДК 517.9

ПОИСК РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ДИСКРЕТНЫЙ ГРУПП В СИСТЕМЕ GAP

Кормилицына Т.В.1, Сиднева И.А.1
1Мордовский государственный педагогический институт

Аннотация
Статья посвящена поиску решений обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью дискретный групп в системе GAP.

Ключевые слова: группы, информационные технологии, уравнение


FINDING SOLUTIONS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS USING DISCRETE GROUPS IN GAP

Kormilitsyna T.V.1, Sidneva I.A.1
1Mordovia State Pedagogical Institute

Abstract
This article is about finding solutions of ordinary differential equations using discrete groups in GAP.

Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Кормилицына Т.В., Сиднева И.А. Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью дискретный групп в системе GAP // Современные научные исследования и инновации. 2012. № 11 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2012/11/18587 (дата обращения: 29.09.2017).

Применение классических методов исследования и интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается недостаточно эффективным для решения ряда современных прикладных проблем: задач моделирования, численного аналитического интегрирования уравнений, имеющих неединственное решение и других исследований.

В теории уравнений с частными производными хорошо зарекомендовали себя групповые методы, основанные на теории Ли-Бэклунда. Однако в случае  обыкновенных дифференциальных уравнений классический групповой анализ практически не дает ощутимого преимущества перед традиционными методами, особенно для уравнений низших порядков.

Дискретно-групповой метод оперирует с конкретным классом дифференциальных уравнений. При этом если весь класс не интегрируется в квадратурах, группа преобразований является дискретной [1].

Множество обыкновенных дифференциальных уравнений называется классом уравнений  D, если каждый элемент D(a)D однозначно определяется вектором параметров a этого элемента. Множество допустимых значений вектора a образует пространство параметров R(D).

Параметр уравнения , не изменяющийся под действием операций растяжения и сдвига   (х и у – независимая и зависимая переменные соответственно), называется существенным.

Множество D преобразований G, замкнутое на выбранном классе обыкновенных дифференциальных уравнений D, называется дискретной группой преобразований G, допускаемой классом D.

Каждый элемент группы gi  G  переводит  любой элемент класса D(a) в некоторый элемент того же класса D(a), что порождает алгебраическое представление действия этого элемента

gi D(a)    D( i )    bi =F(a)

Знание дискретной группы преобразований, допускаемой классом, позволяет установить дискретную симметрию класса  D в пространстве параметров  R(D) и описать ее на основе алгебраических соотношений; разбить класс D  на непересекающиеся подклассы эквивалентности – орбиты точек, т.е. множества всех уравнений данного класса, связанных между собой преобразованиями, являющимися элементами группы – по группе G и ее расширениям; найти точные решения всех элементов некоторой орбиты группы, если эта орбита содержит хотя бы одно обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого известно.

Многие прикладные задачи теории групп решаются значительно быстрее и эффективнее при использовании систем компьютерной математики. К системам такого класса относится система компьютерной математики GAP.

Так с помощью системы существенно проще, чем путем ручных расчетов, можно найти минимальную систему порождающих соотношений для конечной группы преобразований гипергеометрического уравнения Гаусса и все элементы группы, используя следующий алгоритм:

1) задать свободную группу F соответствующего ранга (ранга определяется количеством порождающих элементов группы);

2) указать, что под a и b будут пониматься порождающие элементы свободной группы F;

3) указать список тривиальных слов;

4) тогда группа будет получена как  фактор-группа;

5) найти элементы полученной с помощью стандартной функции группы.

Приведем программу для системы Gap

gap> F:=FreeGroup(“a”,”b”);

gap> a:=F.1;b:=F.2;

gap>G:=F/rels;

gap>l:=AsList(G);

Таким образом, применение системы Gap позволит частично автоматизировать процесс получения дискретных групп преобразований обыкновенных дифференциальных уравнений.


Библиографический список
  1. Зайцев, В. Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений. Ч. 2. / В. Ф. Зайцев, Т.В. Кормилицына. – Л., 1985, ВИНИТИ N3720-85. Деп. 29 мая1985 г. – 150 с.


Все статьи автора «Tatayana»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: